Calcul infinitésimal Exemples

$x^{6} e^{x} - 5$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} e^{x} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.1.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Additionnez $x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$ et $0$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$

Étape 1.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$

Étape 1.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{5} e^{x}$ à partir de $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{5} e^{x}$ à partir de $x^{6} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} (x) + 6 x^{5} e^{x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x^{5} e^{x}$ à partir de $6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x^{5} e^{x}$ à partir de $x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6)$ .

$x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{5} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 6 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{5}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{5}$ égal à $0$ .

$x^{5} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{5} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[5]{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.6

Définissez $x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$ vraie.

$x = 0, - 6$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{6} e^{x} - 5$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{6} e^{0} - 5$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{0} - 5$

Étape 4.1.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 - 5$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 - 5$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $5$ de $0$ .

$- 5$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 6$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 6$ .

${(- 6)}^{6} e^{- 6} - 5$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $6$ .

$46656 e^{- 6} - 5$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$46656 \frac{1}{e^{6}} - 5$

Étape 4.2.2.3

Associez $46656$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$\frac{46656}{e^{6}} - 5$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, - 5), (- 6, \frac{46656}{e^{6}} - 5)$

Étape 5