Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x e^{x}$ à partir de $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.6

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x e^{x} (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{2} e^{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} e^{0}$

Étape 4.1.2

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{0}$

Étape 4.1.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$4 e^{- 2}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}}$

Étape 4.2.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (- 2, \frac{4}{e^{2}})$

Étape 5