Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{8 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{8 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$x^{2} (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$x^{2} (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $8$ à gauche de $e^{8 x}$ .

$x^{2} (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (8 e^{8 x}) + e^{8 x} (2 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$ .

$f' (x) = 8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2 x e^{8 x}$ à partir de $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $2 x e^{8 x}$ à partir de $8 x^{2} e^{8 x}$ .

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $2 x e^{8 x}$ à partir de $2 x e^{8 x}$ .

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $2 x e^{8 x}$ à partir de $2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1)$ .

$2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{8 x} = 0$

$4 x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $e^{8 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $e^{8 x}$ égal à $0$ .

$e^{8 x} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $e^{8 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{8 x}) = \ln (0)$

Étape 2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{8 x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.6

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 1$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Étape 2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{1}{4}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{2} e^{8 x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} e^{8 (0)}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{8 (0)}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 e^{0}$

Étape 4.1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{1}{4}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{4}$ .

${(- \frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$\frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Étape 4.2.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Étape 4.2.2.2.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{16} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{16} e^{8 (\frac{- 1}{4})}$

Étape 4.2.2.3.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{16} e^{4 (2) \frac{- 1}{4}}$

Étape 4.2.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{16} e^{4 \cdot 2 \frac{- 1}{4}}$

Étape 4.2.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{16} e^{2 \cdot - 1}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{16} e^{- 2}$

Étape 4.2.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Étape 4.2.2.6

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{16 e^{2}}$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{16 e^{2}}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (- \frac{1}{4}, \frac{1}{16 e^{2}})$

Étape 5