Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 1.1.3.2

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 1.1.3.3

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.1.3.4

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\sin (2 x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Étape 2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$2 x = 0$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - 0$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 x = π + 0$

Étape 2.6.1.2

Additionnez $π$ et $0$ .

$2 x = π$

Étape 2.6.2

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = π$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.6.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.7

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.8

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\sin^{2} (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sin^{2} (0)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0^{2}$

Étape 4.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$\sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1^{2}$

Étape 4.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 1)$ , pour tout entier $n$

Étape 5