Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

Étape 1

Écrivez $y = 5 x^{3} - 3 x$ comme une fonction.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Étape 2

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 2.1

Évaluez $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ sur $x = 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$f (1) = 5 - 3 \cdot 1$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (1) = 5 - 3$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f (1) = 2$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.2

Comme $2 = 2$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 3

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Étape 4

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 5

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 5.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.4

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Étape 5.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Étape 5.1.2.2

La réponse finale est $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Étape 5.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Étape 5.2.2

Déplacez $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Étape 5.2.3

Déplacez $- 3 x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 h - 3 x$

Étape 5.2.4

Déplacez $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Étape 5.2.5

Déplacez $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Étape 5.2.6

Remettez dans l’ordre $15 h^{2} x$ et $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Étape 5.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Étape 6

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3} - 3 x)}{h}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3}) - (- 3 x)}{h}$

Étape 7.1.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} + 3 x}{h}$

Étape 7.1.4

Soustrayez $5 x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Étape 7.1.5

Additionnez $5 h^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Étape 7.1.6

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Étape 7.1.7

Additionnez $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Étape 7.1.8

Factorisez $h$ à partir de $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ .

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Étape 7.1.8.1

Factorisez $h$ à partir de $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Étape 7.1.8.2

Factorisez $h$ à partir de $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Étape 7.1.8.3

Factorisez $h$ à partir de $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 3 h}{h}$

Étape 7.1.8.4

Factorisez $h$ à partir de $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Étape 7.1.8.5

Factorisez $h$ à partir de $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Étape 7.1.8.6

Factorisez $h$ à partir de $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Étape 7.1.8.7

Factorisez $h$ à partir de $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Étape 7.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$

Étape 7.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 3$

Étape 7.2.2.2

Déplacez $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 3$

Étape 7.2.2.3

Remettez dans l’ordre $15 x h$ et $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 3$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Étape 9

Évaluez la limite de $15 x^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Étape 10

Placez le terme $15 x$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Étape 11

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Étape 12

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Étape 13

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Multipliez $15 x \cdot 0$ .

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Étape 15.1.1.1

Multipliez $0$ par $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Étape 15.1.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Étape 15.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Étape 15.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Étape 15.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Étape 15.2

Associez les termes opposés dans $15 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

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Étape 15.2.1

Additionnez $15 x^{2}$ et $0$ .

$15 x^{2} + 0 - 3$

Étape 15.2.2

Additionnez $15 x^{2}$ et $0$ .

$15 x^{2} - 3$

Étape 16

Déterminez la pente $m$ . Dans ce cas $m = 12$ .

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Étape 16.1

Supprimez les parenthèses.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 3$

Étape 16.2

Simplifiez $15 \cdot 1^{2} - 3$ .

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$m = 15 \cdot 1 - 3$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $15$ par $1$ .

$m = 15 - 3$

Étape 16.2.2

Soustrayez $3$ de $15$ .

$m = 12$

Étape 17

La pente est $m = 12$ et le point central est $(1, 2)$ .

$m = 12, (1, 2)$

Étape 18

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 18.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 18.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (12) \cdot x + b$

Étape 18.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (12) \cdot (1) + b$

Étape 18.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$2 = (12) \cdot (1) + b$

Étape 18.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 18.5.1

Réécrivez l’équation comme $(12) \cdot (1) + b = 2$ .

$(12) \cdot (1) + b = 2$

Étape 18.5.2

Multipliez $12$ par $1$ .

$12 + b = 2$

Étape 18.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

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Étape 18.5.3.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$b = 2 - 12$

Étape 18.5.3.2

Soustrayez $12$ de $2$ .

$b = - 10$

Étape 19

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = 12 x - 10$

Étape 20