Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{2} = 36$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y^{2} = 36$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y^{2} = 36$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{x^{2}}$

Étape 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$

Étape 1.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}$

Étape 1.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm \frac{6}{x}$

Étape 1.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{6}{x}$

Étape 1.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{6}{x}$

Étape 1.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{6}{x} \to f (x) = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x} \to f (x) = - \frac{6}{x}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Étape 3.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 3.3

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ par $2 x^{2} y$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ par $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 3.5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 3.5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Étape 3.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

Étape 3.5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 3.5.2.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

Étape 3.5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Étape 3.5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Étape 3.5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

Étape 3.5.2.3.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

Étape 3.5.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Étape 3.5.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Étape 3.5.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x}$

Étape 3.5.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{y}{x} = 0$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{y}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{y}{x} = 0$ par $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- y = 0 x$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$- y = 0$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- y = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- y = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$y = 0$

Étape 4.4

La variable $x$ a été annulée.

Tous les nombres réels

Étape 5

Solve the function $f (x) = \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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Étape 5.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $l$ par $l$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1

Déplacez $l$ .

Étape 5.2.1.2

Multipliez $l$ par $l$ .

Étape 5.2.2

Multipliez $l^{2}$ par $l$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1

Déplacez $l$ .

Étape 5.2.2.2

Multipliez $l$ par $l^{2}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 5.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

Étape 5.2.3

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.1

Déplacez $r$ .

Étape 5.2.3.2

Multipliez $r$ par $r$ .

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.4.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 5.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

Étape 5.2.5

La réponse finale est $\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ .

$\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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Étape 6.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $l$ par $l$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1

Déplacez $l$ .

Étape 6.2.1.2

Multipliez $l$ par $l$ .

Étape 6.2.2

Multipliez $l^{2}$ par $l$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1

Déplacez $l$ .

Étape 6.2.2.2

Multipliez $l$ par $l^{2}$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Élevez $l$ à la puissance $1$ .

Étape 6.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 6.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

Étape 6.2.3

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.3.1

Déplacez $r$ .

Étape 6.2.3.2

Multipliez $r$ par $r$ .

Étape 6.2.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

Étape 6.2.4.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

Étape 6.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 6.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

Étape 6.2.5

La réponse finale est $- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ .

$- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

$y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Étape 8