Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez $\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} + 3 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

Étape 1.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

Étape 1.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = x \sqrt{x + 3}$

Étape 1.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Étape 1.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 3.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Étape 3.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ par $2 y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Étape 3.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Étape 3.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Étape 3.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y, y, 1$

Étape 4.1.2

Comme $2 y, y, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $2, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $y^{1}, y^{1}$ .

Étape 4.1.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 4.1.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 4.1.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 4.1.6

Le plus petit multiple commun de $2, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 4.1.7

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 4.1.8

Le plus petit multiple commun de $y^{1}, y^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y$

Étape 4.1.9

Le plus petit multiple commun pour $2 y, y, 1$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 y$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ par $2 y$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ par $2 y$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $2 \frac{3 x}{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.5.1

Associez $2$ et $\frac{3 x}{y}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Étape 4.2.2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Multipliez $0 (2 y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $0$ par $y$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} + 6 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Étape 4.3.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Étape 4.3.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Étape 4.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4.3.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 4.3.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.3.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

Étape 5.2.2

Multipliez $0$ par $\sqrt{3}$ .

$f (0) = 0$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

Étape 6.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

Étape 7.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

Étape 7.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (- 2) = 2$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

Étape 9