Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.6

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.7

Additionnez $2 x - 8$ et $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

Étape 1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

Étape 1.2.11.2

Multipliez $x^{2} - 8 x + 7$ par $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.4

Associez des termes.

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Étape 1.3.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.4.6

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.4.8

Soustrayez $8 x$ de $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Étape 1.3.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

Étape 1.3.4.10

Soustrayez $8 x$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

Étape 1.3.4.11

Additionnez $8$ et $7$ .

$3 x^{2} - 18 x + 15$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 18 x + 15$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 2.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5, 1$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ sur $x = 5$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

Étape 3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $40$ de $25$ .

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $- 15$ et $7$ .

$f (5) = 4 \cdot - 8$

Étape 3.2.3.3

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$f (5) = - 32$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $- 32$ .

$- 32$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ sur $x = 1$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

Étape 4.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.3.1

Soustrayez $8$ de $1$ .

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (1) = 0 \cdot 0$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ sont $y = - 32, y = 0$ .

$y = - 32, y = 0$

Étape 6