Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

Étape 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ par $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Divisez $36$ par $9$ .

$y^{2} = 4 + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

Étape 1.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = 4 - \frac{4 x^{2}}{9}$

Étape 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$

Étape 1.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$ .

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Étape 1.4.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 1.4.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{4 x^{2}}{9}}$

Étape 1.4.1.2

Réécrivez $\frac{4 x^{2}}{9}$ comme ${(\frac{2 x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{2 x}{3})}^{2}}$

Étape 1.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = \frac{2 x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

Étape 1.4.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

Étape 1.4.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

Étape 1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

Étape 1.4.6

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3 + 2 x$ .

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Étape 1.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

Étape 1.4.6.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 (x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

Étape 1.4.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

Étape 1.4.7

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

Étape 1.4.8

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

Étape 1.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 \cdot 3 - 2 x}{3}}$

Étape 1.4.10

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3 - 2 x$ .

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Étape 1.4.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) - 2 x}{3}}$

Étape 1.4.10.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) + 2 (- x)}{3}}$

Étape 1.4.10.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3 - x)}{3}}$

Étape 1.4.11

Multipliez $\frac{2 (3 + x)}{3}$ par $\frac{2 (3 - x)}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x) (2 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

Étape 1.4.12

Multipliez.

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Étape 1.4.12.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

Étape 1.4.12.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

Étape 1.4.13

Réécrivez $\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}$ comme ${(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

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Étape 1.4.13.1

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4 (3 + x) (3 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

Étape 1.4.13.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Étape 1.4.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

Étape 1.4.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{2}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

Étape 1.4.15

Associez $\frac{2}{3}$ et $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$y = \pm \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Étape 1.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Étape 1.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Étape 1.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Étape 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

Étape 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 3.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Étape 3.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 9 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 3.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 3.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

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Étape 3.2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 y^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$8 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$8 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 x + 9 (2 y y')$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$8 x + 18 y y'$

Étape 3.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$18 y y' + 8 x$

Étape 3.3

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 3.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$18 y y' + 8 x = 0$

Étape 3.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$18 y y' = - 8 x$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $18 y y' = - 8 x$ par $18 y$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $18 y y' = - 8 x$ par $18 y$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{18 y}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $18$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{18 y}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

Étape 3.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 4 x}{9 y}$

Étape 3.5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4 x}{9 y}$

Étape 3.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 x}{9 y} = 0$ .

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Étape 4.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x = 0$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 5

Solve the function $f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $3$ et $0$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

Étape 5.2.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

Étape 5.2.2.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

Étape 5.2.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 5.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (0) = \frac{6}{3}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $6$ par $3$ .

$f (0) = 2$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6

Solve the function $f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $3$ et $0$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

Étape 6.2.2.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

Étape 6.2.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = - \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (0) = - \frac{6}{3}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $6$ par $3$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

Étape 6.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (0) = - 2$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Étape 8