Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 1.4.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Étape 1.4.2.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Étape 1.4.2.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $2 \cos (x)$ à partir de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.4.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.4.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.4.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.4.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $\sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $\sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 2.5.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 2.5.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5.2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.5.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.5.2.7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 2.5.2.7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.7.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.5.2.7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.5.2.7.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.7.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.5.2.7.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 2.5.2.7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ sur $x = \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 3.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1^{2}$

Étape 3.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Étape 3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ sur $x = \frac{π}{2} + π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + π$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2.1.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2.1.4.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \cdot - 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2.1.7.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Étape 4.2.1.8

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 4.2.1.9

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Étape 4.2.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Étape 4.2.1.11

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.11.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Étape 4.2.1.11.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Étape 4.2.1.12

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Étape 4.2.1.13

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Étape 4.2.1.15

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + 1$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ est $y = 3, y = - 1$ .

$y = 3, y = - 1$

Étape 6