Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 1) (x - 1))]$

Étape 1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Étape 1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 (x^{2} - 2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Étape 1.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (2 x - 2 + 0)$

Étape 1.11

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$2 (2 x - 2)$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 2$

Étape 1.12.2

Associez des termes.

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Étape 1.12.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 2$

Étape 1.12.2.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$4 x - 4$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x - 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 4$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 4$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 4$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $4$ par $4$ .

$x = 1$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ sur $x = 1$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 2 {((1) - 1)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = 2 \cdot 0^{2}$

Étape 3.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (1) = 2 \cdot 0$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ est $y = 0$ .

$y = 0$

Étape 5