Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 6 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 \cdot 1$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$3 x^{2} - 6$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 6 = 0$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 6$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 6$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 6$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $6$ par $3$ .

$x^{2} = 2$

Étape 2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 6 x$ sur $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{3} - 6 \sqrt{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{3}} - 6 \sqrt{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{8} - 6 \sqrt{2}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4 (2)} - 6 \sqrt{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{2}$

Étape 3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $6 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2}$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 6 x$ sur $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{3}} - 6 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{8} - 6 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4 (2)} - 6 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \sqrt{2}) = - (2 \sqrt{2}) - 6 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} - 6 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 2 \sqrt{2}$ et $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Étape 5

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{3} - 6 x$ sont $y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$ .

$y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$

Étape 6