Calcul infinitésimal Exemples

$y = 7 x - x^{2}$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $7 x$ et $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 7 x$

Étape 2

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 7 x$

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x + 7 \cdot 1$

Étape 3.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$- 2 x + 7$

Étape 4

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x + 7 = 0$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 7$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 7$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 7$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Étape 4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{7}{2}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = - x^{2} + 7 x$ sur $x = \frac{7}{2}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{7}{2}) = - {(\frac{7}{2})}^{2} + 7 (\frac{7}{2})$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{7^{2}}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

Étape 5.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

Étape 5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + 7 (\frac{7}{2})$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $7 (\frac{7}{2})$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Associez $7$ et $\frac{7}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{7 \cdot 7}{2}$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $\frac{49}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{49}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{4}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 49 \cdot 2}{4}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $49$ par $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 98}{4}$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $- 49$ et $98$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $\frac{49}{4}$ .

$\frac{49}{4}$

Étape 6

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = - x^{2} + 7 x$ est $y = \frac{49}{4}$ .

$y = \frac{49}{4}$

Étape 7