Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \cos (x)$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x + \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - \sin (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - 1$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 3.6.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x + \cos (x)$ sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Étape 4.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x + \cos (x)$ sur $x = \frac{π}{2} + 2 π$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2} + 2 π$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = (\frac{π}{2} + 2 π) + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 5.2.1.1

Écrivez $2 π$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $\frac{2 π}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\frac{2 π}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Étape 5.2.1.4

Écrivez $\cos (\frac{π}{2} + 2 π)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 2 π \cdot 2 + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 4 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.5.2

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{5 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.6

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2}) \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.7

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0 \cdot 2}{2}$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $0$ par $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π + 0}{2}$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $5 π$ et $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π}{2}$

Étape 5.2.5

La réponse finale est $\frac{5 π}{2}$ .

$\frac{5 π}{2}$

Étape 6

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = x + \cos (x)$ est $y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$

Étape 7