Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (x)$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \sec (x)$

Étape 2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\sec (x) \tan (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Étape 3.2

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez $\sec (x)$ égal à $0$ .

$\sec (x) = 0$

Étape 3.2.2

La plage de la sécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 3.3

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 3.3.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 3.3.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 3.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.3.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.3.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sec (x) \tan (x) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sec (x)$ sur $x = π$ .

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Étape 4.1

$f (π) = \sec (π)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le deuxième quadrant.

$f (π) = - \sec (0)$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = - 1$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = \sec (x)$ est $y = x = π n, y = - 1$ .

$y = x = π n, y = - 1$

Étape 6