Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x + 1 - x - - 1$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 3.2

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Aucune solution n’est trouvée en définissant la dérivée égale à $0$ , $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ si bien qu’il n’y a pas de droite tangente horizontale.

Aucune tangente horizontale n’a été trouvée

Étape 5