Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 2 x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1$

Étape 3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 0.2367329$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ sur $x = 0.2367329$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.2367329$ dans l’expression.

$f (0.2367329) = {(0.2367329)}^{4} + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $0.2367329$ à la puissance $4$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Étape 4.2.1.2

Élevez $0.2367329$ à la puissance $2$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 \cdot 0.05604246 - (0.2367329)$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $2$ par $0.05604246$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - (0.2367329)$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0.2367329$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - 0.2367329$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $0.00314075$ et $0.11208493$ .

$f (0.2367329) = 0.11522569 - 0.2367329$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $0.2367329$ de $0.11522569$ .

$f (0.2367329) = - 0.12150721$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 0.12150721$ .

$- 0.12150721$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ est $y = - 0.12150721$ .

$y = - 0.12150721$

Étape 6