Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.8

Associez les fractions.

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Étape 2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.8.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.2.1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.1.2

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.1.3

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.13.2.1.3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.1.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.1.3.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.2

Pour écrire $- x^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.3

Associez $- x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.13.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.13.2.5.1.1

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Étape 2.13.2.5.1.1.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.5.1.1.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.5.1.1.3

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.5.1.1.4

Factorisez $x^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.5.1.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.5.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3

Associez des termes.

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Étape 2.13.3.1

Multipliez $\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$ par $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.2

Associez.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.4

Annulez le facteur commun de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.13.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.6

Associez $- 2$ et $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.7

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.8

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.13.3.8.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.8.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.8.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.8.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{x^{1} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.9

Simplifiez $x^{1} \cdot - 2$ .

$\frac{\frac{x \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.10

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{- 2 \cdot x}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.11

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.13.3.11.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{\frac{2 (- x)}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.3.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 (1)} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- x}{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.3.11.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$\frac{- x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.5

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.7

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 2.13.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 1 = 0$

Étape 3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ sur $x = 1$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{(1) + 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

Étape 4.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 5

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ est $y = \frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Étape 6