Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.2.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.2.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 2.2.2.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 \cos (x) + 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 \cos (x) + 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 \cos (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos (x) = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (x) = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 2.4.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 2.4.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 2.4.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 2.4.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 2.4.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 2.4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 2.4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.6.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 2.4.2.6.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 2.4.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.4.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $\cos (x) - 1$ égal à $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $\cos (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (x) = 1$

Étape 2.5.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 2.5.2.5

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 2.5.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 2.5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.5.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.5.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ sur $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 3.1

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $2 (\frac{2 π}{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $2$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 3.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 3.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 3.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 3.2.1.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 3.2.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

Étape 3.2.1.7

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $- \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.2.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.3.1

Associez $- \sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.4.2

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.6

La réponse finale est $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ est $y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - 2.59807621 \dots$

Étape 6