Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Étape 1

Définissez $y$ en fonction de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9$

Étape 3

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$ .

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Étape 3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ et dont la somme est $b = - 28$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $- 28$ à partir de $- 28 x$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez $- 28$ comme $- 1$ plus $- 27$

$3 x^{2} + (- 1 - 27) x + 9 = 0$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 1 x - 27 x + 9 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 1 x) - 27 x + 9 = 0$

Étape 3.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 1) - 9 (3 x - 1) = 0$

Étape 3.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Étape 3.3

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 3.4

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x - 9) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, 9$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 (\frac{1}{9}) + 9 (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.1.7

Associez $- 14$ et $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.1.9

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.9.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 (3) (\frac{1}{3})$

Étape 4.2.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3}))$

Étape 4.2.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3$

Étape 4.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{14}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{14}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 3$

Étape 4.2.2.3

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 4.2.2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Étape 4.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 14 \cdot 3 + 3 \cdot 27}{27}$

Étape 4.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- 14$ par $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 3 \cdot 27}{27}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $3$ par $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 81}{27}$

Étape 4.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez $42$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 41 + 81}{27}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $- 41$ et $81$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ sur $x = 9$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f (9) = {(9)}^{3} - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f (9) = 729 - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Étape 5.2.1.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f (9) = 729 - 14 \cdot 81 + 9 (9)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 14$ par $81$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 9 (9)$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $9$ par $9$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 81$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $1134$ de $729$ .

$f (9) = - 405 + 81$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 405$ et $81$ .

$f (9) = - 324$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 324$ .

$- 324$

Étape 6

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ sont $y = \frac{40}{27}, y = - 324$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 324$

Étape 7