Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \sin (x y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sin (x y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Étape 3.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

Étape 5.2

Soustrayez $x y' \cos (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' - x y' \cos (x y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ par $1 - x \cos (x y)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ par $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x \cos (x y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y \cos (x y) = - 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $y \cos (x y) = - 1$ par $y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $y \cos (x y) = - 1$ par $y$ .

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x y)$ par $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

Étape 7.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

Étape 7.2.4

Divisez chaque terme dans $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ par $y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.1

Divisez chaque terme dans $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ par $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Étape 7.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Étape 7.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

Étape 8.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

Étape 8.1.1.2

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (- \frac{1}{y})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ est $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Étape 8.1.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Étape 8.1.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

Étape 8.1.1.5

Multipliez $- - \frac{1}{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

Étape 8.1.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Étape 8.1.1.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Étape 8.1.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

Étape 8.1.1.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

Étape 8.1.1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

Étape 8.1.1.10

Multipliez $\frac{y - 1}{y}$ par $\frac{y + 1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

Étape 8.1.1.11

Multipliez $y$ par $y$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

Étape 8.1.1.12

Réécrivez $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ comme ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1.12.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(y - 1) (y + 1)$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

Étape 8.1.1.12.2

Factorisez la puissance parfaite $y^{2}$ dans $y^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Étape 8.1.1.12.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

Étape 8.1.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

Étape 8.1.1.14

Associez $\frac{1}{y}$ et $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Étape 8.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Étape 8.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$y \approx 1.94368519$

Étape 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

Étape 9.2

Simplifiez $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Divisez $1$ par $1.94368519$ .

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

Étape 9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $0.5144866$ .

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

Étape 9.2.1.3

Évaluez $\arccos (- 0.5144866)$ .

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

Étape 9.2.2

Divisez $2.11120515$ par $1.94368519$ .

$x = 1.08618677$

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1.08618677, 1.94368519)$

Étape 11