Calcul infinitésimal Exemples

$7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$14 x + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$14 x + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$14 x + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 x + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 y^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 y y')$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $9$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 18 y y'$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$14 x + 6 (x y') + 6 y + 18 y y'$

Étape 2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$14 x + 6 x y' + 6 y + 18 y y'$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x y' + 18 y y' + 14 x + 6 y$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x y' + 18 y y' + 14 x + 6 y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $14 x$ des deux côtés de l’équation.

$6 x y' + 18 y y' + 6 y = - 14 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$6 x y' + 18 y y' = - 14 x - 6 y$

Étape 5.2

Factorisez $6 y'$ à partir de $6 x y' + 18 y y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $6 y'$ à partir de $6 x y'$ .

$6 y' x + 18 y y' = - 14 x - 6 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $6 y'$ à partir de $18 y y'$ .

$6 y' x + 6 y' (3 y) = - 14 x - 6 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $6 y'$ à partir de $6 y' x + 6 y' (3 y)$ .

$6 y' (x + 3 y) = - 14 x - 6 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $6 y' (x + 3 y) = - 14 x - 6 y$ par $6 (x + 3 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $6 y' (x + 3 y) = - 14 x - 6 y$ par $6 (x + 3 y)$ .

$\frac{6 y' (x + 3 y)}{6 (x + 3 y)} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y' (x + 3 y)}{6 (x + 3 y)} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 3 y$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $6$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x$ .

$y' = \frac{2 (- 7 x)}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{2 (- 7 x)}{2 (3 (x + 3 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- 7 x)}{2 (3 (x + 3 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 y$ .

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{- y}{x + 3 y}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y}{x + 3 y}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{y}{x + 3 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y}{x + 3 y} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 (x + 3 y)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{y}{x + 3 y}$ par $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y \cdot 3}{(x + 3 y) \cdot 3}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x + 3 y) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 7 x - y \cdot 3}{3 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y' = \frac{- 7 x - 3 y}{3 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x$ .

$y' = \frac{- (7 x) - 3 y}{3 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (7 x) - (3 y)}{3 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (7 x + 3 y)}{3 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.9.1

Réécrivez $- (7 x + 3 y)$ comme $- 1 (7 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x + 3 y)}{3 (x + 3 y)}$

Étape 5.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{7 x + 3 y}{3 (x + 3 y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 x + 3 y}{3 (x + 3 y)}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$7 x + 3 y = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$7 x = - 3 y$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $7 x = - 3 y$ par $7$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $7 x = - 3 y$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 3 y}{7}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 3 y}{7}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{7}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 y}{7}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $7 {(- \frac{3 y}{7})}^{2} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2}$ .

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 y}{7}$ .

$7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 y}{7})}^{2}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 y}{7}$ .

$7 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 y)}^{2}}{7^{2}}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $3 y$ .

$7 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$7 (1 \frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.3

Multipliez $\frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}}$ par $1$ .

$7 \frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$7 \frac{9 y^{2}}{7^{2}} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.5

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$7 \frac{9 y^{2}}{49} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 8.1.1.6.1

Factorisez $7$ à partir de $49$ .

$7 \frac{9 y^{2}}{7 (7)} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{9 y^{2}}{7 \cdot 7} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 y^{2}}{7} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.7

Multipliez $6 (- \frac{3 y}{7})$ .

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Étape 8.1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - 6 \frac{3 y}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.7.2

Associez $- 6$ et $\frac{3 y}{7}$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} + \frac{- 6 (3 y)}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.7.3

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} + \frac{- 18 y}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 y}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.9

Multipliez $- \frac{18 y}{7} y$ .

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Étape 8.1.1.9.1

Associez $y$ et $\frac{18 y}{7}$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{y (18 y)}{7} + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.9.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 (y^{1} y)}{7} + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.9.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 (y^{1} y^{1})}{7} + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 y^{1 + 1}}{7} + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 y^{2}}{7} + 9 y^{2} = 0$

Étape 8.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 y^{2} + \frac{9 y^{2} - 18 y^{2}}{7} = 0$

Étape 8.1.2.2

Soustrayez $18 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$9 y^{2} + \frac{- 9 y^{2}}{7} = 0$

Étape 8.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$9 y^{2} - \frac{9 y^{2}}{7} = 0$

Étape 8.1.3

Pour écrire $9 y^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$9 y^{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 y^{2}}{7} = 0$

Étape 8.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1.4.1

Associez $9 y^{2}$ et $\frac{7}{7}$ .

$\frac{9 y^{2} \cdot 7}{7} - \frac{9 y^{2}}{7} = 0$

Étape 8.1.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 y^{2} \cdot 7 - 9 y^{2}}{7} = 0$

Étape 8.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.5.1

Factorisez $9 y^{2}$ à partir de $9 y^{2} \cdot 7 - 9 y^{2}$ .

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Étape 8.1.5.1.1

Factorisez $9 y^{2}$ à partir de $9 y^{2} \cdot 7$ .

$\frac{9 y^{2} (7) - 9 y^{2}}{7} = 0$

Étape 8.1.5.1.2

Factorisez $9 y^{2}$ à partir de $- 9 y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2} (7) + 9 y^{2} (- 1)}{7} = 0$

Étape 8.1.5.1.3

Factorisez $9 y^{2}$ à partir de $9 y^{2} (7) + 9 y^{2} (- 1)$ .

$\frac{9 y^{2} (7 - 1)}{7} = 0$

Étape 8.1.5.2

Soustrayez $1$ de $7$ .

$\frac{9 y^{2} \cdot 6}{7} = 0$

Étape 8.1.5.3

Multipliez $6$ par $9$ .

$\frac{54 y^{2}}{7} = 0$

Étape 8.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$54 y^{2} = 0$

Étape 8.3

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 8.3.1

Divisez chaque terme dans $54 y^{2} = 0$ par $54$ et simplifiez.

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Étape 8.3.1.1

Divisez chaque terme dans $54 y^{2} = 0$ par $54$ .

$\frac{54 y^{2}}{54} = \frac{0}{54}$

Étape 8.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $54$ .

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Étape 8.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{54 y^{2}}{54} = \frac{0}{54}$

Étape 8.3.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{54}$

Étape 8.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1.3.1

Divisez $0$ par $54$ .

$y^{2} = 0$

Étape 8.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{0}$

Étape 8.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 8.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 8.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 0$

Étape 8.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 9

Simplifiez $- \frac{3 (0)}{7}$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $7$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $7$ à partir de $3 (0)$ .

$x = - \frac{7 (3 \cdot (0))}{7}$

Étape 9.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$x = - \frac{7 (3 \cdot (0))}{7 (1)}$

Étape 9.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{7 (3 \cdot (0))}{7 \cdot 1}$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{3 \cdot (0)}{1}$

Étape 9.1.2.4

Divisez $3 \cdot (0)$ par $1$ .

$x = - (3 \cdot (0))$

Étape 9.2

Multipliez $- (3 \cdot (0))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$x = - 0$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$x = 0$

Étape 10

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

Étape 11