Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + x y = 10$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x + x y' + y$

Étape 2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + 2 x + y$

Étape 3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + 2 x + y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + y = - 2 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' = - 2 x - y$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $x y' = - 2 x - y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $x y' = - 2 x - y$ par $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{x} = 2$

Étape 7.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 7.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 7.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 7.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{y}{x} = 2$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 7.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{y}{x} = 2$ par $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Étape 7.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Étape 7.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- y = 2 x$

Étape 7.4

Résolvez l’équation.

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Étape 7.4.1

Réécrivez l’équation comme $2 x = - y$ .

$2 x = - y$

Étape 7.4.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - y$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - y$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Étape 7.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Étape 7.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Étape 7.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{y}{2}$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ .

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Étape 8.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Étape 8.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Étape 8.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Étape 8.1.1.3

Multipliez $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Étape 8.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Étape 8.1.1.5

Multipliez $(- \frac{y}{2}) y$ .

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Étape 8.1.1.5.1

Associez $y$ et $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

Étape 8.1.1.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

Étape 8.1.1.5.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

Étape 8.1.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

Étape 8.1.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

Étape 8.1.2

Pour écrire $- \frac{y^{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

Étape 8.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1.3.1

Multipliez $\frac{y^{2}}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

Étape 8.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Étape 8.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Étape 8.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.5.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.1.5.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Étape 8.1.5.1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{2} \cdot 2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Étape 8.1.5.1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

Étape 8.1.5.3

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

Étape 8.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1.6.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

Étape 8.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

Étape 8.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Simplifiez $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y^{2}}{4}$ dans le numérateur.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.2

Multipliez.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

Étape 8.3.1.1.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $- 4$ par $10$ .

$y^{2} = - 40$

Étape 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

Étape 8.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- 40}$ .

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Étape 8.5.1

Réécrivez $- 40$ comme $- 1 (40)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

Étape 8.5.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (40)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

Étape 8.5.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

Étape 8.5.4

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 8.5.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

Étape 8.5.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Étape 8.5.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

Étape 8.5.6

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

Étape 8.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = 2 i \sqrt{10}$

Étape 8.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - 2 i \sqrt{10}$

Étape 8.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

Étape 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

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Étape 9.1

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Étape 9.2.2

Divisez $i \sqrt{10}$ par $1$ .

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

Étape 10

Simplifiez $- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i \sqrt{10}$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

Étape 10.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

Étape 10.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Étape 10.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

Étape 10.1.2.4

Divisez $- i \sqrt{10}$ par $1$ .

$x = - (- i \sqrt{10})$

Étape 10.2

Multipliez $- (- i \sqrt{10})$ .

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1 (i \sqrt{10})$

Étape 10.2.2

Multipliez $\sqrt{10}$ par $1$ .

$x = \sqrt{10} i$

Étape 11

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

Étape 12