Calcul infinitésimal Exemples

$x^{6} = \cot (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ .

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ par $- \csc^{2} (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ par $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $\csc^{2} (y)$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Étape 7

Définissez $\frac{d y}{d x} = 0$ puis résolvez pour $x$ dans les termes de $y$ .

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Étape 7.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 x^{5} = 0$

Étape 7.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{5} = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1.1

Divisez chaque terme dans $6 x^{5} = 0$ par $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 7.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 7.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 7.2.1.2.1.2

Divisez $x^{5}$ par $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Étape 7.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$x^{5} = 0$

Étape 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Étape 7.2.3

Simplifiez $\sqrt[5]{0}$ .

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Étape 7.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Réécrivez l’équation comme $\cot (y) = 0^{6}$ .

$\cot (y) = 0^{6}$

Étape 8.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\cot (y) = 0$

Étape 8.3

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la cotangente.

$y = arccot (0)$

Étape 8.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Étape 8.5

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$y = π + \frac{π}{2}$

Étape 8.6

Simplifiez $π + \frac{π}{2}$ .

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Étape 8.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 8.6.2

Associez les fractions.

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Étape 8.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 8.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 8.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 8.6.3.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Étape 8.7

Déterminez la période de $\cot (y)$ .

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Étape 8.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 8.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 8.7.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8.8

La période de la fonction $\cot (y)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.9

Consolidez les réponses.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

Étape 10