Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + y^{2} + 1 = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} + 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 2 y y' + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x + 2 y y'$ et $0$ .

$2 x + 2 y y'$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' = - 2 x$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 y y' = - 2 x$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = - 2 x$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{y}$

Étape 5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

Étape 7

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $0^{2} + y^{2} + 1$ .

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Étape 8.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + y^{2} + 1 = 0$

Étape 8.1.2

Additionnez $0$ et $y^{2}$ .

$y^{2} + 1 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = - 1$

Étape 8.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 8.4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \pm i$

Étape 8.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = i$

Étape 8.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - i$

Étape 8.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = i, - i$

Étape 9

Déterminez les points où $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, i)$

$(0, - i)$

Étape 10