Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 27, 27]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.1.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.1.1.9

Associez $3$ et $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Étape 1.1.1.10

Multipliez.

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Étape 1.1.1.10.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.1.1.10.2

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.1.11

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.1.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.12.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Étape 1.1.1.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.1.12.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 1.3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1.3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $3 x^{\frac{2}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 0^{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 27$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 27$ .

$3 {(- 27)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.1.1

Réécrivez $- 27$ comme ${(- 3)}^{3}$ .

$3 {({(- 3)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(- 3)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 {(- 3)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 {(- 3)}^{2}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 9$

Étape 2.1.2.3.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$27$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 27$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $27$ .

$3 {(27)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$3 {(3^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 3^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 3^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 2.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 3^{2}$

Étape 2.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 9$

Étape 2.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$27$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 27, 27), (27, 27)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 27, 27), (27, 27)$

Minimum absolu : $(0, 0)$

Étape 4