Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 12 x$ , $(0, 4)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 12$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 12$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 12$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $12$ par $3$ .

$x^{2} = 4$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - 12 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 12 \cdot 2$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$8 - 24$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $24$ de $8$ .

$- 16$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - 12 \cdot - 2$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$- 8 + 24$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $- 8$ et $24$ .

$16$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(2, - 16), (- 2, 16)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(2, - 16)$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 12$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 12$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $12$ de $48$ .

$f' (- 4) = 36$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $36$ .

$36$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 12$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$f' (0) = - 12$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 12$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (4) = 48 - 12$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $12$ de $48$ .

$f' (4) = 36$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $36$ .

$36$

Étape 3.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 2$ , $x = - 2$ est un maximum local.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 3.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2$ , $x = 2$ est un minimum local.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 3.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 12 x$ .

$x = - 2$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

$x = - 2$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(2, - 16)$

Étape 5