Calcul infinitésimal Exemples

$16 x^{4} + 32 x^{2} y^{2} + 16 y^{4} = 144 x^{2} - 144 y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (16 x^{4} + 32 x^{2} y^{2} + 16 y^{4}) = \frac{d}{d x} (144 x^{2} - 144 y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{4} + 32 x^{2} y^{2} + 16 y^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{4}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [32 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $16$ .

$64 x^{3} + \frac{d}{d x} [32 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$64 x^{3} + 32 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$64 x^{3} + 32 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$64 x^{3} + 32 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$64 x^{3} + 32 (x^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$64 x^{3} + 32 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$64 x^{3} + 32 (x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$64 x^{3} + 32 (x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$64 x^{3} + 32 (2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$64 x^{3} + 32 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + \frac{d}{d x} [16 y^{4}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 y^{4}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 y^{4}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$64 x^{3} + 32 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 16 \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$64 x^{3} + 32 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 16 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$64 x^{3} + 32 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 16 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$64 x^{3} + 32 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 16 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$64 x^{3} + 32 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 16 (4 y^{3} y')$

Étape 2.4.4

Multipliez $4$ par $16$ .

$64 x^{3} + 32 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 64 y^{3} y'$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$64 x^{3} + 32 (2 x^{2} y y') + 32 (2 y^{2} x) + 64 y^{3} y'$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Multipliez $2$ par $32$ .

$64 x^{3} + 64 (x^{2} y y') + 32 (2 y^{2} x) + 64 y^{3} y'$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $2$ par $32$ .

$64 x^{3} + 64 x^{2} y y' + 64 y^{2} x + 64 y^{3} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $144 x^{2} - 144 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [144 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [144 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [144 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $144 x^{2}$ par rapport à $x$ est $144 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$144 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 y^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$144 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 y^{2}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $144$ .

$288 x + \frac{d}{d x} [- 144 y^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 144 y^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 144$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 144 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 144 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$288 x - 144 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$288 x - 144 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$288 x - 144 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$288 x - 144 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$288 x - 144 (2 y y')$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $- 144$ .

$288 x - 288 y y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 288 y y' + 288 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$64 x^{3} + 64 x^{2} y y' + 64 y^{2} x + 64 y^{3} y' = - 288 y y' + 288 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $288 y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$64 x^{3} + 64 x^{2} y y' + 64 y^{2} x + 64 y^{3} y' + 288 y y' = 288 x$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $64 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$64 x^{2} y y' + 64 y^{2} x + 64 y^{3} y' + 288 y y' = 288 x - 64 x^{3}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $64 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$64 x^{2} y y' + 64 y^{3} y' + 288 y y' = 288 x - 64 x^{3} - 64 y^{2} x$

Étape 5.3

Factorisez $32 y y'$ à partir de $64 x^{2} y y' + 64 y^{3} y' + 288 y y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $32 y y'$ à partir de $64 x^{2} y y'$ .

$32 y y' (2 x^{2}) + 64 y^{3} y' + 288 y y' = 288 x - 64 x^{3} - 64 y^{2} x$

Étape 5.3.2

Factorisez $32 y y'$ à partir de $64 y^{3} y'$ .

$32 y y' (2 x^{2}) + 32 y y' (2 y^{2}) + 288 y y' = 288 x - 64 x^{3} - 64 y^{2} x$

Étape 5.3.3

Factorisez $32 y y'$ à partir de $288 y y'$ .

$32 y y' (2 x^{2}) + 32 y y' (2 y^{2}) + 32 y y' \cdot 9 = 288 x - 64 x^{3} - 64 y^{2} x$

Étape 5.3.4

Factorisez $32 y y'$ à partir de $32 y y' (2 x^{2}) + 32 y y' (2 y^{2})$ .

$32 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 32 y y' \cdot 9 = 288 x - 64 x^{3} - 64 y^{2} x$

Étape 5.3.5

Factorisez $32 y y'$ à partir de $32 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 32 y y' \cdot 9$ .

$32 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9) = 288 x - 64 x^{3} - 64 y^{2} x$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $32 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9) = 288 x - 64 x^{3} - 64 y^{2} x$ par $32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $32 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9) = 288 x - 64 x^{3} - 64 y^{2} x$ par $32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)$ .

$\frac{32 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} = \frac{288 x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 x^{3}}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y' (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} = \frac{288 x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 x^{3}}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}{2 x^{2} + 2 y^{2} + 9} = \frac{288 x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 x^{3}}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2 x^{2} + 2 y^{2} + 9$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{288 x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 x^{3}}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $288$ et $32$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Factorisez $32$ à partir de $288 x$ .

$y' = \frac{32 (9 x)}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 x^{3}}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.1.2.1

Factorisez $32$ à partir de $32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)$ .

$y' = \frac{32 (9 x)}{32 (y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9))} + \frac{- 64 x^{3}}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{32 (9 x)}{32 (y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9))} + \frac{- 64 x^{3}}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 x^{3}}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 64$ et $32$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $32$ à partir de $- 64 x^{3}$ .

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{32 (- 2 x^{3})}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Factorisez $32$ à partir de $32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)$ .

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{32 (- 2 x^{3})}{32 (y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9))} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{32 (- 2 x^{3})}{32 (y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9))} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 64 y^{2} x}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 64$ et $32$ .

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Étape 5.4.3.1.4.1

Factorisez $32$ à partir de $- 64 y^{2} x$ .

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{32 (- 2 y^{2} x)}{32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.4.2.1

Factorisez $32$ à partir de $32 y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)$ .

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{32 (- 2 y^{2} x)}{32 (y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9))}$

Étape 5.4.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{32 (- 2 y^{2} x)}{32 (y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9))}$

Étape 5.4.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 2 y^{2} x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.5

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 5.4.3.1.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{y (- 2 y x)}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{y (- 2 y x)}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{- 2 y x}{2 x^{2} + 2 y^{2} + 9}$

Étape 5.4.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 y x}{2 x^{2} + 2 y^{2} + 9}$

Étape 5.4.3.2

Pour écrire $- \frac{2 y x}{2 x^{2} + 2 y^{2} + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 y x}{2 x^{2} + 2 y^{2} + 9} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 5.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.3.3.1

Multipliez $\frac{2 y x}{2 x^{2} + 2 y^{2} + 9}$ par $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 y x y}{(2 x^{2} + 2 y^{2} + 9) y}$

Étape 5.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(2 x^{2} + 2 y^{2} + 9) y$ .

$y' = - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{9 x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} - \frac{2 y x y}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{2 x^{3}}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)} + \frac{9 x - 2 y x y}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x^{3} + 9 x - 2 y x y}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.3.6.1

Déplacez $y$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + 9 x - 2 (y \cdot y) x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' = \frac{- 2 x^{3} + 9 x - 2 y^{2} x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.7

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{3} + 9 x - 2 y^{2} x$ .

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Étape 5.4.3.7.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2}) + 9 x - 2 y^{2} x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.7.2

Factorisez $x$ à partir de $9 x$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2}) + x \cdot 9 - 2 y^{2} x}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.7.3

Factorisez $x$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2}) + x \cdot 9 + x (- 2 y^{2})}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.7.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 2 x^{2}) + x \cdot 9$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2} + 9) + x (- 2 y^{2})}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.7.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 2 x^{2} + 9) + x (- 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 2 x^{2} + 9 - 2 y^{2})}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (2 x^{2}) + 9 - 2 y^{2})}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.9

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$y' = \frac{x (- (2 x^{2}) - 1 (- 9) - 2 y^{2})}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - 1 (- 9)$ .

$y' = \frac{x (- (2 x^{2} - 9) - 2 y^{2})}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{x (- (2 x^{2} - 9) - (2 y^{2}))}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} - 9) - (2 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- (2 x^{2} - 9 + 2 y^{2}))}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.3.13.1

Réécrivez $- (2 x^{2} - 9 + 2 y^{2})$ comme $- 1 (2 x^{2} - 9 + 2 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (- 1 (2 x^{2} - 9 + 2 y^{2}))}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 5.4.3.13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x (2 x^{2} - 9 + 2 y^{2})}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (2 x^{2} - 9 + 2 y^{2})}{y (2 x^{2} + 2 y^{2} + 9)}$