Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ , $[- 2, 0]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 2 x - 8$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x - 8$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 2 x - 8$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $4$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (4 - 6) x - 8 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $3 x + 4$ égal à $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $3 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - \frac{4}{3}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{4}{3}$ .

${(- \frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{64}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{64}{27} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.1.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.1.2.1.6.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.6.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 1.4.1.2.1.6.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{3} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.8

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.10

Multipliez $- 8 (- \frac{4}{3})$ .

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Étape 1.4.1.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + 8 (\frac{4}{3}) + 4$

Étape 1.4.1.2.1.10.2

Associez $8$ et $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 4$

Étape 1.4.1.2.1.10.3

Multipliez $8$ par $4$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{32}{3} + 4$

Étape 1.4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + 4$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} + 4$

Étape 1.4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9} + 4$

Étape 1.4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{32}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 4$

Étape 1.4.1.2.2.5

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1}$

Étape 1.4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 1.4.1.2.2.7

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 64 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$\frac{- 64 - 48 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez $32$ par $9$ .

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 4 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.1.2.4.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 108}{27}$

Étape 1.4.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.5.1

Soustrayez $48$ de $- 64$ .

$\frac{- 112 + 288 + 108}{27}$

Étape 1.4.1.2.5.2

Additionnez $- 112$ et $288$ .

$\frac{176 + 108}{27}$

Étape 1.4.1.2.5.3

Additionnez $176$ et $108$ .

$\frac{284}{27}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$8 - 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$8 - 4 - 16 + 4$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $4$ de $8$ .

$4 - 16 + 4$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$- 12 + 4$

Étape 1.4.2.2.2.3

Additionnez $- 12$ et $4$ .

$- 8$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27}), (2, - 8)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 8 - 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 2$ .

$- 8 - 4 + 16 + 4$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $4$ de $- 8$ .

$- 12 + 16 + 4$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $- 12$ et $16$ .

$4 + 4$

Étape 3.1.2.2.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$8$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

Étape 3.2.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 0 - 8 \cdot 0 + 4$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 - 8 \cdot 0 + 4$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 4$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 4$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 4$

Étape 3.2.2.2.3

Additionnez $0$ et $4$ .

$4$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, 8), (0, 4)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

Minimum absolu : $(0, 4)$

Étape 5