Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 (2 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 18$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 36 x$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 36 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 36 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 36 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 3, 3$ .

$0, - 3, 3$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 36 \cdot - 4$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 36 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 64$ .

$f' (- 4) = - 256 - 36 \cdot - 4$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = - 256 + 144$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 256$ et $144$ .

$f' (- 4) = - 112$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 112$ .

$- 112$

Étape 5.3

Sur $x = - 4$ la dérivée est $- 112$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 3)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{27}{8}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 36 (- \frac{3}{2})$

Étape 6.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 36 (\frac{- 3}{2})$

Étape 6.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 2 (- 18) (\frac{- 3}{2})$

Étape 6.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 18 (\frac{- 3}{2}))$

Étape 6.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 18 \cdot - 3$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $- 18$ par $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 54$

Étape 6.2.2

Pour écrire $54$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 54 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.3

Associez $54$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $54$ par $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{2}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $- 27$ et $108$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{2}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est $\frac{81}{2}$ .

$\frac{81}{2}$

Étape 6.3

Sur $x = - \frac{3}{2}$ la dérivée est $\frac{81}{2}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 3, 0)$ .

Augmente sur $(- 3, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 36 (\frac{3}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 36 (\frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 36 (\frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 36 (\frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 36 (\frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 36 (\frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 36 (\frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 36$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 (- 18) (\frac{3}{2})$

Étape 7.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 18 (\frac{3}{2}))$

Étape 7.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 18 \cdot 3$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- 54$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.3

Associez $- 54$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 \cdot 2}{2}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $- 54$ par $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{2}$

Étape 7.2.5.2

Soustrayez $108$ de $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{2}$

Étape 7.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{2}$

Étape 7.2.7

La réponse finale est $- \frac{81}{2}$ .

$- \frac{81}{2}$

Étape 7.3

Sur $x = \frac{3}{2}$ la dérivée est $- \frac{81}{2}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 3)$ .

Diminue sur $(0, 3)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 \cdot 4$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1.1.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{3}$ .

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Étape 8.2.1.1.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 \cdot 4$

Étape 8.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 36 \cdot 4$

Étape 8.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 36 \cdot 4$

Étape 8.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 256 - 36 \cdot 4$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$f' (4) = 256 - 144$

Étape 8.2.2

Soustrayez $144$ de $256$ .

$f' (4) = 112$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $112$ .

$112$

Étape 8.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $112$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 3, 0), (3, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 3), (0, 3)$

Étape 10