Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 21 x^{2} - 48 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - 21 x^{2} - 48 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 21 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 21$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 48 x$ par rapport à $x$ est $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48 \frac{d}{d x} x$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 48$ par $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} - 42 x - 48$ .

$6 x^{2} - 42 x - 48$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} - 42 x - 48 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x^{2} - 42 x - 48 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} - 42 x - 48$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 42 x - 48 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $6$ à partir de $- 42 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 7 x) - 48 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $6$ à partir de $- 48$ .

$6 x^{2} + 6 (- 7 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $6$ à partir de $6 x^{2} + 6 (- 7 x)$ .

$6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $6$ à partir de $6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot - 8$ .

$6 (x^{2} - 7 x - 8) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 7 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 8, 1$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$6 ((x - 8) (x + 1)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$6 (x - 8) (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 (x - 8) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 8, - 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $8, - 1$ .

$8, - 1$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 8) \cup (8, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 42 \cdot - 2 - 48$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 42 \cdot - 2 - 48$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$f' (- 2) = 24 - 42 \cdot - 2 - 48$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $- 42$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 + 84 - 48$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $24$ et $84$ .

$f' (- 2) = 108 - 48$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $48$ de $108$ .

$f' (- 2) = 60$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $60$ .

$60$

Étape 5.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $60$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, 8)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{7}{2}) = 6 {(\frac{7}{2})}^{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{49}{2^{2}}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{49}{4}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 2 (3) (\frac{49}{4}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{49}{2 \cdot 2})) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{7}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{49}{2 \cdot 2})) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{7}{2}) = 3 (\frac{49}{2}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.5

Associez $3$ et $\frac{49}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{3 \cdot 49}{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $3$ par $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 42$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + 2 (- 21) (\frac{7}{2}) - 48$

Étape 6.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + 2 \cdot (- 21 (\frac{7}{2})) - 48$

Étape 6.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 21 \cdot 7 - 48$

Étape 6.2.1.8

Multipliez $- 21$ par $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 147 - 48$

Étape 6.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 6.2.2.1

Écrivez $- 147$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147}{1} - 48$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $\frac{- 147}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147}{1} \cdot \frac{2}{2} - 48$

Étape 6.2.2.3

Multipliez $\frac{- 147}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} - 48$

Étape 6.2.2.4

Écrivez $- 48$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48}{1}$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $\frac{- 48}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.2.6

Multipliez $\frac{- 48}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 147 \cdot 2 - 48 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $- 147$ par $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 294 - 48 \cdot 2}{2}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $- 48$ par $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 294 - 96}{2}$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.5.1

Soustrayez $294$ de $147$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 147 - 96}{2}$

Étape 6.2.5.2

Soustrayez $96$ de $- 147$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 243}{2}$

Étape 6.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{243}{2}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est $- \frac{243}{2}$ .

$- \frac{243}{2}$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{7}{2}$ la dérivée est $- \frac{243}{2}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 1, 8)$ .

Diminue sur $(- 1, 8)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(8, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f' (9) = 6 {(9)}^{2} - 42 \cdot 9 - 48$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (9) = 6 \cdot 81 - 42 \cdot 9 - 48$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $6$ par $81$ .

$f' (9) = 486 - 42 \cdot 9 - 48$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 42$ par $9$ .

$f' (9) = 486 - 378 - 48$

Étape 7.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $378$ de $486$ .

$f' (9) = 108 - 48$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $48$ de $108$ .

$f' (9) = 60$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $60$ .

$60$

Étape 7.3

Sur $x = 9$ la dérivée est $60$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(8, \infty)$ .

Augmente sur $(8, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 1), (8, \infty)$

Diminue sur : $(- 1, 8)$

Étape 9