Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x - x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{3}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 1 - (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 3 x^{2}$

Étape 1.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 1$ .

$- 3 x^{2} + 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 1$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.57735026$ dans l’expression.

$f' (- 1.57735026) = - 3 {(- 1.57735026)}^{2} + 1$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.57735026$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2.48803384$ .

$f' (- 1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 7.46410152$ et $1$ .

$f' (- 1.57735026) = - 6.46410152$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Étape 5.3

Sur $x = - 1.57735026$ la dérivée est $- 6.46410152$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Diminue sur $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 1$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 1$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Étape 6.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Augmente sur $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.57735026$ dans l’expression.

$f' (1.57735026) = - 3 {(1.57735026)}^{2} + 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1.57735026$ à la puissance $2$ .

$f' (1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2.48803384$ .

$f' (1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 7.46410152$ et $1$ .

$f' (1.57735026) = - 6.46410152$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Étape 7.3

Sur $x = 1.57735026$ la dérivée est $- 6.46410152$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Diminue sur : $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Étape 9