Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{x + 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.3

Placez ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.12.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.1.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.14

Multipliez ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.15

Pour écrire ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.16

Associez ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18

Multipliez ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.18.1

Déplacez ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.19

Simplifiez ${(x + 2)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.20

Déplacez $2$ à gauche de $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 2)}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21

Simplifiez

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Étape 1.1.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.21.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x + 4 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 4$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4}{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 2}$ comme ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 2) = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x + 8 = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 8$

Étape 4.3.3.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 8$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 8$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Étape 4.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Étape 4.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Étape 4.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.2.3.1

Divisez $- 8$ par $4$ .

$x = - 2$

Étape 4.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 2}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 2 < 0$

Étape 4.5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < - 2$

Étape 4.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = \frac{3 (- 3) + 4}{2 {((- 3) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 9 + 4}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $- 9$ et $4$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Étape 6.2.2.3

Évaluez l’exposant.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Étape 6.2.2.4

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i}$

Étape 6.2.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 5}{2 i}$ par le conjugué de $2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 6.2.4

Multipliez.

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Étape 6.2.4.1

Associez.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i i}$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.4.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Étape 6.2.4.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Étape 6.2.4.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Étape 6.2.4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{1 + 1}}$

Étape 6.2.4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{2}}$

Étape 6.2.4.2.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 \cdot - 1}$

Étape 6.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{- 2}$

Étape 6.2.6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f' (- 3) = \frac{5 i}{2}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{5 i}{2}$

Étape 6.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $\frac{5 i}{2}$ . Comme elle contient un nombre imaginaire, la fonction n’existe pas sur $(- \infty, - 2)$ .

La fonction n’est pas réelle sur $(- \infty, - 2)$ car $f' (x)$ est imaginaire

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, - \frac{4}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.6666667$ dans l’expression.

$f' (- 1.6666667) = \frac{3 (- 1.6666667) + 4}{2 {((- 1.6666667) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 5.0000001 + 4}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Additionnez $- 5.0000001$ et $4$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 1.6666667$ et $2$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.3333333}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.2

Réécrivez $0.3333333$ comme ${0.57735024}^{2}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {({0.57735024}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Étape 7.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $2$ par $0.57735024$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{1.15470048}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $- 1.0000001$ par $1.15470048$ .

$f' (- 1.6666667) = - 0.86602553$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- 0.86602553$ .

$- 0.86602553$

Étape 7.3

Sur $x = - 1.6666667$ la dérivée est $- 0.86602553$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, - \frac{4}{3})$ .

Diminue sur $(- 2, - \frac{4}{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \frac{4}{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.3333334$ dans l’expression.

$f' (- 0.3333334) = \frac{3 (- 0.3333334) + 4}{2 {((- 0.3333334) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 0.3333334$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{- 1.0000002 + 4}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Additionnez $- 1.0000002$ et $4$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $- 0.3333334$ et $2$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.6666666}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.2

Réécrivez $1.6666666$ comme ${1.29099442}^{2}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {({1.29099442}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 8.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 8.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Étape 8.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $2$ par $1.29099442$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2.58198884}$

Étape 8.2.3.2

Divisez $2.9999998$ par $2.58198884$ .

$f' (- 0.3333334) = 1.16189494$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $1.16189494$ .

$1.16189494$

Étape 8.3

Sur $x = - 0.3333334$ la dérivée est $1.16189494$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \frac{4}{3}, \infty)$ .

Augmente sur $(- \frac{4}{3}, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \frac{4}{3}, \infty)$

Diminue sur : $(- 2, - \frac{4}{3})$

Étape 10