Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{4} + 32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{4}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x^{3}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $32$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 96 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 x^{3} + 96 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $24 x^{2}$ à partir de $24 x^{3} + 96 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $24 x^{2}$ à partir de $24 x^{3}$ .

$24 x^{2} (x) + 96 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $24 x^{2}$ à partir de $96 x^{2}$ .

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $24 x^{2}$ à partir de $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4)$ .

$24 x^{2} (x + 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $24 x^{2} (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, - 4$ .

$0, - 4$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = 24 {(- 5)}^{3} + 96 {(- 5)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f' (- 5) = 24 \cdot - 125 + 96 {(- 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $24$ par $- 125$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 {(- 5)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 96 \cdot 25$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $96$ par $25$ .

$f' (- 5) = - 3000 + 2400$

Étape 5.2.2

Additionnez $- 3000$ et $2400$ .

$f' (- 5) = - 600$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 600$ .

$- 600$

Étape 5.3

Sur $x = - 5$ la dérivée est $- 600$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 4)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 24 {(- 2)}^{3} + 96 {(- 2)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = 24 \cdot - 8 + 96 {(- 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $24$ par $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 {(- 2)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 192 + 96 \cdot 4$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $96$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 192 + 384$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 192$ et $384$ .

$f' (- 2) = 192$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $192$ .

$192$

Étape 6.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $192$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 4, 0)$ .

Augmente sur $(- 4, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 96 {(1)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 96 {(1)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $24$ par $1$ .

$f' (1) = 24 + 96 {(1)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 24 + 96 \cdot 1$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $96$ par $1$ .

$f' (1) = 24 + 96$

Étape 7.2.2

Additionnez $24$ et $96$ .

$f' (1) = 120$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $120$ .

$120$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $120$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 4, 0), (0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, - 4)$

Étape 9