Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 x^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{5}{7}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{7}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{5}{7}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{7}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{\frac{4}{7}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{7}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $7$ de $4$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 5 (\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.8

Associez $\frac{4}{7}$ et $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.9

Associez $5$ et $\frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}$ .

$f' (x) = \frac{5 (4 x^{- \frac{3}{7}})}{7} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.10

Multipliez $4$ par $5$ .

$f' (x) = \frac{20 x^{- \frac{3}{7}}}{7} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.2.11

Placez $x^{- \frac{3}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{5}{7}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{5}{7}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{7}}]$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{7}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{7}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1})$

Étape 1.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 1 \cdot 7}{7}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{5 - 7}{7}})$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $7$ de $5$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{\frac{- 2}{7}})$

Étape 1.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - (\frac{5}{7} x^{- \frac{2}{7}})$

Étape 1.1.3.8

Associez $\frac{5}{7}$ et $x^{- \frac{2}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 x^{- \frac{2}{7}}}{7}$

Étape 1.1.3.9

Placez $x^{- \frac{2}{7}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ .

$\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$7 x^{\frac{3}{7}}, 7 x^{\frac{2}{7}}, 1$

Étape 2.2.2

Since $7 x^{\frac{3}{7}}, 7 x^{\frac{2}{7}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $7, 7, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{3}{7}}, x^{\frac{2}{7}}$ .

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.2.4

$7$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $7$ .

$7$ est un nombre premier

Étape 2.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.2.6

Le plus petit multiple commun de $7, 7, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$7$

Étape 2.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{3}{7}}, x^{\frac{2}{7}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.2.8

Le plus petit multiple commun pour $7 x^{\frac{3}{7}}, 7 x^{\frac{2}{7}}, 1$ est la partie numérique $7$ multipliée par la partie variable.

$7 x^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$ par $7 x^{\frac{3}{7}}$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} = 0$ par $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{20}{7 x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{20}{x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{3}{7}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20}{x^{\frac{3}{7}}} x^{\frac{3}{7}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$20 - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{7}} \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$ dans le numérateur.

$20 + \frac{- 5}{7 x^{\frac{2}{7}}} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2.1.4.2

Factorisez $x^{\frac{2}{7}} \cdot 7$ à partir de $7 x^{\frac{2}{7}}$ .

$20 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 (1)} (7 x^{\frac{3}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2.1.4.3

Factorisez $x^{\frac{2}{7}} \cdot 7$ à partir de $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$20 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 (1)} (x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 (x^{\frac{1}{7}})) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$20 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 \cdot 1} (x^{\frac{2}{7}} \cdot 7 x^{\frac{1}{7}}) = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.2.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$20 - 5 x^{\frac{1}{7}} = 0 (7 x^{\frac{3}{7}})$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Multipliez $0 (7 x^{\frac{3}{7}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$20 - 5 x^{\frac{1}{7}} = 0 x^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{3}{7}}$ .

$20 - 5 x^{\frac{1}{7}} = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x^{\frac{1}{7}} = - 20$

Étape 2.4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $7$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(- 5 x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 20)}^{7}$

Étape 2.4.3

Simplifiez l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1

Simplifiez ${(- 5 x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 5 x^{\frac{1}{7}}$ .

${(- 5)}^{7} {(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 20)}^{7}$

Étape 2.4.3.1.1.2

Élevez $- 5$ à la puissance $7$ .

$- 78125 {(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 20)}^{7}$

Étape 2.4.3.1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 78125 x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 20)}^{7}$

Étape 2.4.3.1.1.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 78125 x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 20)}^{7}$

Étape 2.4.3.1.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 78125 x^{1} = {(- 20)}^{7}$

Étape 2.4.3.1.1.4

Simplifiez

$- 78125 x = {(- 20)}^{7}$

Étape 2.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1

Élevez $- 20$ à la puissance $7$ .

$- 78125 x = - 1280000000$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $- 78125 x = - 1280000000$ par $- 78125$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $- 78125 x = - 1280000000$ par $- 78125$ .

$\frac{- 78125 x}{- 78125} = \frac{- 1280000000}{- 78125}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 78125$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 78125 x}{- 78125} = \frac{- 1280000000}{- 78125}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1280000000}{- 78125}$

Étape 2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.3.1

Divisez $- 1280000000$ par $- 78125$ .

$x = 16384$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $16384$ .

$16384$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{20}{7 \sqrt[7]{x^{3}}} - \frac{5}{7 x^{\frac{2}{7}}}$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{20}{7 \sqrt[7]{x^{3}}} - \frac{5}{7 \sqrt[7]{x^{2}}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{20}{7 \sqrt[7]{x^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$7 \sqrt[7]{x^{3}} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $7$ .

${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{7}}$ .

${(7 x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${(7 x^{\frac{3}{7}})}^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 x^{\frac{3}{7}}$ .

$7^{7} {(x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $7$ .

$823543 {(x^{\frac{3}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 4.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{7}})}^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$823543 x^{3} = 0^{7}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$823543 x^{3} = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $823543 x^{3} = 0$ par $823543$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $823543 x^{3} = 0$ par $823543$ .

$\frac{823543 x^{3}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Étape 4.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $823543$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{823543 x^{3}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Étape 4.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{823543}$

Étape 4.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $823543$ .

$x^{3} = 0$

Étape 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 4.4

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{7 \sqrt[7]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$7 \sqrt[7]{x^{2}} = 0$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $7$ .

${(7 \sqrt[7]{x^{2}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 4.5.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{7}}$ .

${(7 x^{\frac{2}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1

Simplifiez ${(7 x^{\frac{2}{7}})}^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $7 x^{\frac{2}{7}}$ .

$7^{7} {(x^{\frac{2}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 4.5.2.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $7$ .

$823543 {(x^{\frac{2}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Étape 4.5.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{7}})}^{7}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$823543 x^{\frac{2}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Étape 4.5.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$823543 x^{\frac{2}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Étape 4.5.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$823543 x^{2} = 0^{7}$

Étape 4.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$823543 x^{2} = 0$

Étape 4.5.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1

Divisez chaque terme dans $823543 x^{2} = 0$ par $823543$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.1

Divisez chaque terme dans $823543 x^{2} = 0$ par $823543$ .

$\frac{823543 x^{2}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Étape 4.5.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $823543$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{823543 x^{2}}{823543} = \frac{0}{823543}$

Étape 4.5.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{823543}$

Étape 4.5.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1.3.1

Divisez $0$ par $823543$ .

$x^{2} = 0$

Étape 4.5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 4.5.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 4.5.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 4.5.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 16384) \cup (16384, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{7}$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 6.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{3}{7})}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{20}{7 {(- 1)}^{3}} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 6.2.1.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{7 \cdot - 1} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{20}{- 7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 6.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.4.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{7}$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 6.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{2}{7})}}$

Étape 6.2.1.4.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{2}{7})}}$

Étape 6.2.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 {(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.4.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7 \cdot 1}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{20}{7} - \frac{5}{7}$

Étape 6.2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 1) = \frac{- 20 - 5}{7}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

Soustrayez $5$ de $- 20$ .

$f' (- 1) = \frac{- 25}{7}$

Étape 6.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{25}{7}$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- \frac{25}{7}$ .

$- \frac{25}{7}$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{25}{7}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 16384)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $8192$ dans l’expression.

$f' (8192) = \frac{20}{7 {(8192)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(8192)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $- \frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8192^{\frac{1}{7}}}{8192^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{8192^{\frac{1}{7}}}{8192^{\frac{1}{7}}}$

Étape 7.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Multipliez $\frac{5}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}}}$ par $\frac{8192^{\frac{1}{7}}}{8192^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{2}{7}} \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $8192^{\frac{2}{7}}$ par $8192^{\frac{1}{7}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Déplacez $8192^{\frac{1}{7}}$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot (8192^{\frac{1}{7}} \cdot 8192^{\frac{2}{7}})}$

Étape 7.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{1}{7} + \frac{2}{7}}}$

Étape 7.2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{1 + 2}{7}}}$

Étape 7.2.3.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (8192) = \frac{20}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (8192) = \frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$

Étape 7.2.5

La réponse finale est $\frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$

Étape 7.3

Sur $x = 8192$ la dérivée est $\frac{20 - 5 \cdot 8192^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 8192^{\frac{3}{7}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 16384)$ .

Diminue sur $(0, 16384)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(16384, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $16385$ dans l’expression.

$f' (16385) = \frac{20}{7 {(16385)}^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 {(16385)}^{\frac{2}{7}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}}$

Étape 8.2.2

Pour écrire $- \frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16385^{\frac{1}{7}}}{16385^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{16385^{\frac{1}{7}}}{16385^{\frac{1}{7}}}$

Étape 8.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Multipliez $\frac{5}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}}}$ par $\frac{16385^{\frac{1}{7}}}{16385^{\frac{1}{7}}}$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{2}{7}} \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $16385^{\frac{2}{7}}$ par $16385^{\frac{1}{7}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.2.1

Déplacez $16385^{\frac{1}{7}}$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot (16385^{\frac{1}{7}} \cdot 16385^{\frac{2}{7}})}$

Étape 8.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{1}{7} + \frac{2}{7}}}$

Étape 8.2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{1 + 2}{7}}}$

Étape 8.2.3.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (16385) = \frac{20}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}} - \frac{5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$

Étape 8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (16385) = \frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$

Étape 8.2.5

La réponse finale est $\frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$

Étape 8.3

Sur $x = 16385$ la dérivée est $\frac{20 - 5 \cdot 16385^{\frac{1}{7}}}{7 \cdot 16385^{\frac{3}{7}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(16384, \infty)$ .

Diminue sur $(16384, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, 0), (0, 16384), (16384, \infty)$

Étape 10