Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 x - 8 (3 x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$6 x - 24 x^{2}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 6 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 24 x^{2} + 6 x$ .

$- 24 x^{2} + 6 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 24 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 24 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $- 6 x$ à partir de $- 24 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $- 6 x$ à partir de $- 24 x^{2}$ .

$- 6 x (4 x) + 6 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 6 x$ à partir de $6 x$ .

$- 6 x (4 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $- 6 x$ à partir de $- 6 x (4 x) - 6 x (- 1)$ .

$- 6 x (4 x - 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $4 x - 1$ égal à $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $4 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 6 x (4 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0, \frac{1}{4}$ .

$0, \frac{1}{4}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = - 24 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = - 24 \cdot 1 + 6 (- 1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f' (- 1) = - 24 + 6 (- 1)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = - 24 - 6$

Étape 5.2.2

Soustrayez $6$ de $- 24$ .

$f' (- 1) = - 30$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 30$ .

$- 30$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 30$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \frac{1}{4})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.125$ dans l’expression.

$f' (0.125) = - 24 {(0.125)}^{2} + 6 (0.125)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.125$ à la puissance $2$ .

$f' (0.125) = - 24 \cdot 0.015625 + 6 (0.125)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 24$ par $0.015625$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 6 (0.125)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $6$ par $0.125$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 0.75$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 0.375$ et $0.75$ .

$f' (0.125) = 0.375$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.375$ .

$0.375$

Étape 6.3

Sur $x = 0.125$ la dérivée est $0.375$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \frac{1}{4})$ .

Augmente sur $(0, \frac{1}{4})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{1}{4}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.25$ dans l’expression.

$f' (1.25) = - 24 {(1.25)}^{2} + 6 (1.25)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1.25$ à la puissance $2$ .

$f' (1.25) = - 24 \cdot 1.5625 + 6 (1.25)$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 24$ par $1.5625$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 6 (1.25)$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $6$ par $1.25$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 7.5$

Étape 7.2.2

Additionnez $- 37.5$ et $7.5$ .

$f' (1.25) = - 30$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 30$ .

$- 30$

Étape 7.3

Sur $x = 1.25$ la dérivée est $- 30$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{1}{4}, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{1}{4}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \frac{1}{4})$

Diminue sur : $(- \infty, 0), (\frac{1}{4}, \infty)$

Étape 9