Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 16})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.3.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Étape 1.1.7

Associez $2$ et $\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8

Simplifiez

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Étape 1.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.8.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.8.4.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 16$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 32 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.4

Multipliez $- 32$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.2

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}$ .

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Étape 1.1.8.4.2.1

Soustrayez $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.4.2.2

Additionnez $- 64 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Étape 1.1.8.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.8.6.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.8.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Étape 1.1.8.6.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$64 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $64 x = 0$ par $64$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $64 x = 0$ par $64$ .

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{64}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $64$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Définissez ${(x + 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2.2

Résolvez ${(x + 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = - \frac{64 (- 5)}{{((- 5) + 4)}^{2} {((- 5) - 4)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $64$ par $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 5 + 4)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $4$ de $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 {(- 9)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 \cdot 81}$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $81$ par $1$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{81}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 5) = \frac{320}{81}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{320}{81}$ .

$\frac{320}{81}$

Étape 6.3

Sur $x = - 5$ la dérivée est $\frac{320}{81}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 4)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 4)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{64 (- 2)}{{((- 2) + 4)}^{2} {((- 2) - 4)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $64$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{{(- 2 + 4)}^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 6)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 {(- 6)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 \cdot 36}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $4$ par $36$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{144}$

Étape 7.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 128$ et $144$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $16$ à partir de $- 128$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 (- 8)}{144}$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Étape 7.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Étape 7.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{9}$

Étape 7.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = \frac{8}{9}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Étape 7.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $\frac{8}{9}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 4, 0)$ .

Augmente sur $(- 4, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = - \frac{64 (2)}{{((2) + 4)}^{2} {((2) - 4)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez $64$ par $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $2$ et $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 {(- 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 \cdot 4}$

Étape 8.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $36$ par $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{144}$

Étape 8.2.3.2

Annulez le facteur commun à $128$ et $144$ .

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Étape 8.2.3.2.1

Factorisez $16$ à partir de $128$ .

$f' (2) = - \frac{16 (8)}{144}$

Étape 8.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $144$ .

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Étape 8.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Étape 8.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (2) = - \frac{8}{9}$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Étape 8.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $- \frac{8}{9}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 4)$ .

Diminue sur $(0, 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = - \frac{64 (5)}{{((5) + 4)}^{2} {((5) - 4)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $64$ par $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{{(5 + 4)}^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Additionnez $5$ et $4$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} \cdot 1^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1^{2}}$

Étape 9.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1}$

Étape 9.2.3

Multipliez $81$ par $1$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81}$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- \frac{320}{81}$ .

$- \frac{320}{81}$

Étape 9.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $- \frac{320}{81}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(4, \infty)$ .

Diminue sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Diminue sur : $(0, 4), (4, \infty)$

Étape 11