Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $9$ par $1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.5.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $x^{2} - 6 x + 9$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{2} - 6 x + 9$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $3$ .

$3$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ augmente et diminue est $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $12$ de $4$ .

$f' (2) = - 8 + 9$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 8$ et $9$ .

$f' (2) = 1$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 5.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, 3)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $24$ de $16$ .

$f' (4) = - 8 + 9$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 8$ et $9$ .

$f' (4) = 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Étape 8