Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 25}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 25) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 25) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.6.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.6.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.6.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 25$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 50 x - 2 x^{3}$ .

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Étape 1.1.6.3.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x + 0}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.3.2.2

Additionnez $- 50 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{- 50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Étape 1.1.6.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.6.5.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Étape 1.1.6.5.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 5) (x - 5)$ .

$f' (x) = - \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$50 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $50 x = 0$ par $50$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $50 x = 0$ par $50$ .

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 x}{50} = \frac{0}{50}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{50}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $50$ .

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{50 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Définissez ${(x + 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.2.1

Définissez ${(x + 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2.2

Résolvez ${(x + 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Définissez le $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.2.3

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Définissez ${(x - 5)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3.2

Résolvez ${(x - 5)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Définissez le $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.2.3.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 5, 5$

Étape 4.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 5, x = 5$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 5)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = - \frac{50 (- 6)}{{((- 6) + 5)}^{2} {((- 6) - 5)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $50$ par $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 6 + 5)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 6$ et $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 6 - 5)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $5$ de $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{{(- 1)}^{2} {(- 11)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 {(- 11)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Élevez $- 11$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{1 \cdot 121}$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $121$ par $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 300}{121}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 6) = \frac{300}{121}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{300}{121}$ .

$\frac{300}{121}$

Étape 6.3

Sur $x = - 6$ la dérivée est $\frac{300}{121}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 5)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 5)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 5, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{50 (- \frac{5}{2})}{{((- \frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((- \frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $50$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 50 (\frac{5}{2})}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Associez $- 50$ et $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5)}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(- \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.4.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{- 5 + 10}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4.2

Additionnez $- 5$ et $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2} {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2.6

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.7

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.9.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5 - 10}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.9.2

Soustrayez $10$ de $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{15}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.11

Appliquez la règle de produit à $- \frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2})}$

Étape 7.2.2.12

Associez les exposants.

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Étape 7.2.2.12.1

Associez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ et ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Étape 7.2.2.12.2

Associez $\frac{5^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ et ${(\frac{15}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.13.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.13.2

Associez les exposants.

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Étape 7.2.2.13.2.1

Associez $5^{2}$ et $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.13.2.2

Associez ${(- 1)}^{2}$ et $\frac{5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (5^{2} \cdot 15^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.13.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 5^{2} \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.13.3.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 15^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.13.3.3

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.13.3.4

Associez les exposants.

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Étape 7.2.2.13.3.4.1

Multipliez $25$ par $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{25 \cdot 225}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.13.3.4.2

Multipliez $25$ par $225$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.13.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

Étape 7.2.2.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

Étape 7.2.2.15

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Étape 7.2.2.16

Multipliez $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 7.2.2.16.1

Multipliez $\frac{5625}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

Étape 7.2.2.16.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $- 50$ par $5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{\frac{- 250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $- 250$ par $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{- 125}{\frac{5625}{16}}$

Étape 7.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (- 125 (\frac{16}{5625}))$

Étape 7.2.5

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 7.2.5.1

Factorisez $125$ à partir de $- 125$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 (- 1) (\frac{16}{5625}))$

Étape 7.2.5.2

Factorisez $125$ à partir de $5625$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

Étape 7.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$f' (- \frac{5}{2}) = - (125 \cdot (- 1 \frac{16}{125 \cdot 45}))$

Étape 7.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{16}{45}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $\frac{16}{45}$ .

$\frac{16}{45}$

Étape 7.3

Sur $x = - \frac{5}{2}$ la dérivée est $\frac{16}{45}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 5, 0)$ .

Augmente sur $(- 5, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 5)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{50 (\frac{5}{2})}{{((\frac{5}{2}) + 5)}^{2} {((\frac{5}{2}) - 5)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Associez $50$ et $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5)}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Associez $5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 5 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.4.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{5 + 10}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4.2

Additionnez $5$ et $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{{(\frac{15}{2})}^{2} {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 8.2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5)}^{2}}$

Étape 8.2.2.6

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.7

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 5 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.9.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5 - 10}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.9.2

Soustrayez $10$ de $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 5}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.11

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2})}$

Étape 8.2.2.12

Associez les exposants.

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Étape 8.2.2.12.1

Associez $\frac{15^{2}}{2^{2}}$ et ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Étape 8.2.2.12.2

Associez $\frac{15^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ et ${(\frac{5}{2})}^{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.13.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{15^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.13.2

Associez les exposants.

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Étape 8.2.2.13.2.1

Associez $15^{2}$ et $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.13.2.2

Associez ${(- 1)}^{2}$ et $\frac{15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} (15^{2} \cdot 5^{2})}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.13.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 15^{2} \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.13.3.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 5^{2}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.13.3.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{1 \cdot 225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.13.3.4

Associez les exposants.

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Étape 8.2.2.13.3.4.1

Multipliez $225$ par $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{225 \cdot 25}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.13.3.4.2

Multipliez $225$ par $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.13.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{2^{2}}}$

Étape 8.2.2.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{\frac{5625}{4}}{4}}$

Étape 8.2.2.15

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Étape 8.2.2.16

Multipliez $\frac{5625}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 8.2.2.16.1

Multipliez $\frac{5625}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{4 \cdot 4}}$

Étape 8.2.2.16.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{50 \cdot 5}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $50$ par $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{\frac{250}{2}}{\frac{5625}{16}}$

Étape 8.2.3.2

Divisez $250$ par $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{125}{\frac{5625}{16}}$

Étape 8.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{5625}))$

Étape 8.2.5

Annulez le facteur commun de $125$ .

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Étape 8.2.5.1

Factorisez $125$ à partir de $5625$ .

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 (45)}))$

Étape 8.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{5}{2}) = - (125 (\frac{16}{125 \cdot 45}))$

Étape 8.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{16}{45}$

Étape 8.2.6

La réponse finale est $- \frac{16}{45}$ .

$- \frac{16}{45}$

Étape 8.3

Sur $x = \frac{5}{2}$ la dérivée est $- \frac{16}{45}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 5)$ .

Diminue sur $(0, 5)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(5, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f' (6) = - \frac{50 (6)}{{((6) + 5)}^{2} {((6) - 5)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $50$ par $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{{(6 + 5)}^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Additionnez $6$ et $5$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} {(6 - 5)}^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $5$ de $6$ .

$f' (6) = - \frac{300}{11^{2} \cdot 1^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1^{2}}$

Étape 9.2.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (6) = - \frac{300}{121 \cdot 1}$

Étape 9.2.3

Multipliez $121$ par $1$ .

$f' (6) = - \frac{300}{121}$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $- \frac{300}{121}$ .

$- \frac{300}{121}$

Étape 9.3

Sur $x = 6$ la dérivée est $- \frac{300}{121}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(5, \infty)$ .

Diminue sur $(5, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 5), (- 5, 0)$

Diminue sur : $(0, 5), (5, \infty)$

Étape 11