Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 4}$ comme ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4))$

Étape 1.1.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Étape 1.1.11

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Étape 1.1.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Étape 1.1.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.11.4

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.11.5

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f' (1) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0)$

Étape 8