Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{x + 5}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x + 5}$ comme ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x + 5$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 1.1.3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$5 = 0$

Étape 2.3

Comme $5 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 5)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ augmente et diminue est $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 5)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $- 6$ et $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1

Divisez $5$ par $1$ .

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (- 6) = - 5$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 6.3

Sur $x = - 6$ la dérivée est $- 5$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 5)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 5)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 5, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Additionnez $- 4$ et $5$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

Étape 7.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.1

Divisez $5$ par $1$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (- 4) = - 5$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 7.3

Sur $x = - 4$ la dérivée est $- 5$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 5, \infty)$ .

Diminue sur $(- 5, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

Étape 9