Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $1 - x$ par $1$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Multipliez.

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Étape 1.1.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.2.9.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.9.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(- x + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x + 1$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

${(- (x) + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

${(- (x - 1))}^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- (x - 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ par ${(- 1)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ par ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez ${(x - 1)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

Étape 4.2.2.3.2

Divisez $0$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2.3

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 4.2.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ augmente et diminue est $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{1}{{(- (0) + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Étape 6.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Étape 6.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$f' (0) = 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{1}{{(- (2) + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$f' (2) = 1$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Étape 9