Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ augmente et diminue est $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{1}{{((- 2) + 1)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{1}$

Étape 6.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$f' (- 2) = 1$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 1)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 1)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Étape 7.2.2

Divisez $1$ par $1$ .

$f' (0) = 1$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 7.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $1$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 1, \infty)$ .

Augmente sur $(- 1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 1), (- 1, \infty)$

Étape 9