Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 8 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 8 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x - 8$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 8$ .

$2 x - 8$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 8 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - 8 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 8$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 8$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 8$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{8}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $8$ par $2$ .

$x = 4$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $4$ .

$4$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = 2 x - 8$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = x^{2} - 8 x$ augmente et diminue est $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 2 (3) - 8$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (3) = 6 - 8$

Étape 5.2.2

Soustrayez $8$ de $6$ .

$f' (3) = - 2$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 5.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $- 2$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 4)$ .

Diminue sur $(- \infty, 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = 2 (5) - 8$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (5) = 10 - 8$

Étape 6.2.2

Soustrayez $8$ de $10$ .

$f' (5) = 2$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $2$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(4, \infty)$ .

Augmente sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(4, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 4)$

Étape 8