Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} + 6 x - 9$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 6 x - 9$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 9 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 6 x - 9$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x - 9 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 9 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 3$ .

$3 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $2$ .

$- 1, 3$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 1) (x + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 1, - 3$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1, - 3$ .

$1, - 3$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 6 (- 4) - 9$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 + 6 (- 4) - 9$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (- 4) = 48 + 6 (- 4) - 9$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 - 24 - 9$

Étape 5.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $24$ de $48$ .

$f' (- 4) = 24 - 9$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $9$ de $24$ .

$f' (- 4) = 15$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $15$ .

$15$

Étape 5.3

Sur $x = - 4$ la dérivée est $15$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 3)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) - 9$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 + 6 (- 1) - 9$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (- 1) = 3 + 6 (- 1) - 9$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 - 6 - 9$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f' (- 1) = - 3 - 9$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $9$ de $- 3$ .

$f' (- 1) = - 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 12$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 3, 1)$ .

Diminue sur $(- 3, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} + 6 (2) - 9$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 + 6 (2) - 9$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (2) = 12 + 6 (2) - 9$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$f' (2) = 12 + 12 - 9$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $12$ et $12$ .

$f' (2) = 24 - 9$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $9$ de $24$ .

$f' (2) = 15$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $15$ .

$15$

Étape 7.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $15$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 3), (1, \infty)$

Diminue sur : $(- 3, 1)$

Étape 9