Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 12 x + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 12 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 12 + 0$

Étape 1.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 12$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 12$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 12$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 12$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Divisez $12$ par $3$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2, - 2$ .

$2, - 2$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f' (- 3) = 3 {(- 3)}^{2} - 12$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f' (- 3) = 3 \cdot 9 - 12$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$f' (- 3) = 27 - 12$

Étape 5.2.2

Soustrayez $12$ de $27$ .

$f' (- 3) = 15$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $15$ .

$15$

Étape 5.3

Sur $x = - 3$ la dérivée est $15$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 2)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 2)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Étape 6.2.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$f' (0) = - 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 6.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 12$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 2, 2)$ .

Diminue sur $(- 2, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} - 12$

Étape 7.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3) = 3^{1 + 2} - 12$

Étape 7.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (3) = 3^{3} - 12$

Étape 7.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Étape 7.2.2

Soustrayez $12$ de $27$ .

$f' (3) = 15$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $15$ .

$15$

Étape 7.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $15$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Diminue sur : $(- 2, 2)$

Étape 9