Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

Étape 1.1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Étape 2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = 6$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.3

Additionnez $36$ et $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $36$ et $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Étape 2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.3

Additionnez $36$ et $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

Étape 2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Étape 2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.52752525$ dans l’expression.

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1.52752525$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $2.33333338$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 1.52752525$ .

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $9.1651515$ de $- 7.00000016$ .

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 16.16515166$ et $4$ .

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 12.16515166$ .

$- 12.16515166$

Étape 5.3

Sur $x = - 1.52752525$ la dérivée est $- 12.16515166$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $0.99999997$ dans l’expression.

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $0.99999997$ à la puissance $2$ .

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0.99999995$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $6$ par $0.99999997$ .

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $- 2.99999985$ et $5.99999985$ .

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$f' (0.99999997) = 7$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $7$ .

$7$

Étape 6.3

Sur $x = 0.99999997$ la dérivée est $7$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ .

Augmente sur $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3.5275252$ dans l’expression.

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $3.5275252$ à la puissance $2$ .

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $12.44343403$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $6$ par $3.5275252$ .

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 37.3303021$ et $21.1651512$ .

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 16.1651509$ et $4$ .

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 12.1651509$ .

$- 12.1651509$

Étape 7.3

Sur $x = 3.5275252$ la dérivée est $- 12.1651509$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

Diminue sur : $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

Étape 9