Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} - 12 x + 12$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 12 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez ${(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 6$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$8 - 24 + 12 (2) - 6$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $12$ par $2$ .

$8 - 24 + 24 - 6$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $24$ de $8$ .

$- 16 + 24 - 6$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$8 - 6$

Étape 4.1.2.2.3

Soustrayez $6$ de $8$ .

$2$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(2, 2)$

Étape 5