Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x - 7)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x - 7$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 7]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 7]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 7$ .

$3 {(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 7]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$3 {(x - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(x - 7)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x - 7)}^{2} (1 + 0)$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 {(x - 7)}^{2} \cdot 1$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 7)}^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 {(x - 7)}^{2}$ .

$3 {(x - 7)}^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 {(x - 7)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ par $3$ .

$\frac{3 {(x - 7)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(x - 7)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez ${(x - 7)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 7)}^{2} = \frac{0}{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 2.4

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x - 7)}^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 7$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $7$ .

${((7) - 7)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$0^{3}$

Étape 4.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(7, 0)$

Étape 5