Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8

Associez les fractions.

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Étape 1.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8.3

Associez $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ et $7$ .

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Étape 1.1.3.8.4

Déplacez $7$ à gauche de $x - 1 - (x + 1)$ .

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.4.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.4.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.4.4

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.4.5

Soustrayez $7 x$ de $7 x$ .

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.4.6

Soustrayez $7$ de $0$ .

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.4.7

Soustrayez $7$ de $- 7$ .

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Étape 1.1.4.4.9

Multipliez $\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ par $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.4.4.10

Multipliez ${(x - 1)}^{6}$ par ${(x - 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.4.10.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

Étape 1.1.4.4.10.2

Additionnez $6$ et $2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

Étape 1.1.4.4.11

Déplacez $14$ à gauche de ${(x + 1)}^{6}$ .

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ par $14$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ par $14$ .

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez ${(x + 1)}^{6}$ par $1$ .

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $14$ .

${(x + 1)}^{6} = 0$

Étape 2.3.2

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 1)}^{8} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4

Évaluez ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

Étape 4.1.2.3

Divisez $0$ par $- 2$ .

$0^{7}$

Étape 4.1.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

Étape 4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, 0)$

Étape 5